Conjectura de Poincaré

A conjectura de Poincaré afirma que qualquer variedade tridimensional fechada e comgrupo fundamental trivial é homeomorfa a uma esfera tridimensional. Ou seja, a superfície tridimensional de uma esfera é o único espaço fechado de dimensão 3 onde todos os contornos ou caminhos podem ser encolhidos até chegarem a um simples ponto

Esta conjectura surgiu na seqüência de uma outra conjectura formulada por Henri Poincaré em 1900, que afirmava que qualquer variedade tridimensional fechada e comhomologia trivial (denominada uma esfera de homologia) era homeomorfa a uma esfera. Na verdade esta conjectura foi refutada pelo próprio Poincaré em 1904, que forneceu o primeiro exemplo de uma esfera de homologia não homeomorfa a uma esfera.
Em 2003, o russo Grigory Perelman, anunciou uma solução positiva para o problema, recusando o prêmio Clay no valor de um milhão de dólares.

Na figura, o círculo de dimensão 2 pode ser compactado até se tornar um ponto. A conjectura de Poincaré afirma que isso também é verdade para umaesfera de dimensão 3.